\begin{EXERCICE}
\exercice{Gaz parfait dans un cylindre}

Un gaz parfait est enfermé dans un cylindre muni d'un piston. À l'état
initial, la pression est de \numprint{1}~\unit{atm}, la température
de \numprint{273}~\unit{K} et le volume  de \numprint{2.24}~\unit{l}.
On considère deux transformations où la température du gaz
est portée à \numprint{288}~\unit{K}. Ce sont, d'une part, une transformation
à volume constant, et d'autre part, une transformation à pression constante.

Calculer la variation d'énergie interne au cours de chacune des deux transformations.
Établir la relation qui existe entre la variation d'énergie interne et la variation
d'enthalpie du système.

\begin{donnees}
\item Capacité calorifique à volume constant $\Cv = \numprint{12.5}~\unit{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$.
\item Capacité calorifique à pression constante $\Cp = \numprint{20.8}~\unit{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$.
\end{donnees}
\end{EXERCICE}

\begin{SOLUTION}
\soluce{Gaz parfait dans un cylindre}

L'évolution de l'énergie interne est donnée par la relation:
\[
\denergie  = \dchaleur + \dtravail
\]

La premiere transformation est:
\[
V_1, T_1, P_1 \ce{->[{\dchaleur[1], \dtravail[1]}]} V_1, T_2, P_2
\]
la seconde:
\[
V_1, T_1, P_1 \ce{->[{\dchaleur[2], \dtravail[2]}]} V_2, T_2, P_1
\]

\underline{Première transformation:}
\[
\begin{split}
\dchaleur[1] = n \Cv \dd T          & \Rightarrow \chaleur[1] = n \Cv (T_2 - T_1) \\
\dtravail[1] = - P_\text{ext} \dd V & \Rightarrow \travail[1] = 0
\end{split}
\]
donc
\[
\begin{split}
\energie_1 & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} \Cv (T_2 - T_1) \\
           & = \frac{\numprint{1.013}\,10^5 \cdot \numprint{2.24}\,10^{-3}}{\Rgpnum\cdot \numprint{273}}
               \numprint{12.5} \cdot (\numprint{388} - \numprint{273}) \\
           & =  \numprint{18.74}~\unit{J}
\end{split}
\]

\underline{Seconde transformation:}
\[
\begin{split}
\dchaleur[2] = n \Cp \dd T          & \Rightarrow \chaleur[2] = n \Cp (T_2 - T_1) \\
\dtravail[2] = - P_\text{ext} \dd V & \Rightarrow \travail[2] = - P_1 (V_2 - V_1)
\end{split}
\]
donc
\[
\begin{split}
\energie_2 & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} \Cp (T_2 - T_1) - P_1 (V_2 - V_1) \\
           & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} \Cp (T_2 - T_1) - (P_1 V_2  - P_1 V_1 ) \\
           & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} \Cp (T_2 - T_1) - \left(n\Rgp T_2  - n \Rgp T_1\right) \\
           & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} (T_2 - T_1 ) (\Cp - \Rgp) \\
           & = \frac{\numprint{1.013}\,10^5\cdot \numprint{2.24}\,10^{-3}}{\Rgpnum\cdot\numprint{273}}
                       (\numprint{288} - \numprint{273} )
                       (\numprint{20.8} - \Rgpnum )\\
           & = \numprint{18.81}~\unit{J}
\end{split}
\]
Sachant que pour un gac parfait on a la relation $\Rgp = \Cp - \Cv$, on retrouve
bien que $\energie_1 = \energie_2$, la différence est dûe aux incertitudes.

L'enthalpie est donnée par la relation:
\[
\enthalpie = \energie + PV
\]
d'où
\[
\denthalpie = \denergie + V\dd P + P\dd V
\]
donc:
\[
\begin{split}
\enthalpie_1 & = n \Cv (T_2 - T_1) + V_1 (P_2 - P_1)\\
\enthalpie_2 & = n \Cp (T_2 - T_1) - P_1 (V_2 - V_1) + P_1 (V_2 - V_1)
\end{split}
\]
d'où
\[
\begin{split}
\enthalpie_1 & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} \Cv (T_2 - T_1) + (V_1 P_2 -V_1 P_1)\\
             & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} \Cv (T_2 - T_1) +  (n \Rgp T_2 - n\Rgp T_1)\\
             & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1}  (T_2 - T_1) \cdot ( \Cv + \Rgp)\\
             & = \frac{\numprint{1.013}\,10^5 \cdot\numprint{2.24}\,10^{-3}}{\Rgpnum\cdot\numprint{273}} 
                       \cdot (\numprint{288}  - \numprint{273}) 
                       \cdot (\numprint{12.5} + \Rgpnum) \\
             & = \numprint{31.35}~\unit{J} \\[\baselineskip]
\enthalpie_2 & = \frac{P_1 V_1}{\Rgp T_1} \Cp (T_2 - T_1) \\
             & = \frac{\numprint{1.013}\,10^5 \cdot\numprint{2.24}\,10^{-3}}{\Rgpnum\cdot\numprint{273}} 
                  \cdot \numprint{20.8} \cdot (\numprint{288} - \numprint{273}) \\
             & = \numprint{31.19}~\unit{J}
\end{split}
\]
Même remarque que pour l'énergie interne.
\end{SOLUTION}
